Question

7．已知函数f（x）=$\frac{A}{2}-\frac{A}{2}$cos2（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的图象过点（1，2），相邻两条对称轴间的距离为2，且f（x）的最大值为2．
（1）求φ；
（2）计算f（1）+f（2）+…+f（2016）；
（3）若函数g（x）=f（x）-m-1在区间[1，4]上恰有一个零点，求m的范围．

Answer 1

分析 （1）由题意求得A和ω，结合f（1）=2求得φ；
（2）利用函数的周期性求得f（1）+f（2）+…+f（2016）；
（3）把函数g（x）=f（x）-m-1在区间[1，4]上恰有一个零点转化为函数y=m与$y=sin\frac{π}{2}x$图象在区间[1，4]有一个交点，数形结合得答案．

解答 解：（1）由题意，得A=2，T=4，∴$ω=\frac{π}{4}$，
∴$f（1）=1-cos2（\frac{π}{4}+φ）=2$∴$φ=\frac{π}{4}+kπ，k∈Z$，
又$0＜φ＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{4}$；
（2）由（1）知$f（1）=1-cos（\frac{π}{2}x+\frac{π}{2}）=1+sin\frac{π}{2}x$，周期T=4，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=$4+sin\frac{π}{2}+sin\frac{2π}{2}+sin\frac{3π}{2}+sin\frac{4π}{2}=4$．
∴f（1）+f（2）+…+f（2016）=504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=2016；
（3）∵$g（x）=f（x）=m-1=sin\frac{π}{2}x-m$在区间[1，4]上恰有一个零点，
∴方程$m=sin\frac{π}{2}x$在区间[1，4]上恰有一个根，
∴函数y=m与$y=sin\frac{π}{2}x$图象在区间[1，4]有一个交点．
由图可知0＜m≤1或m=-1．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．