Question

(本小题满分16分)已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.

（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；

（2）若，直线的斜率为，求证：；

（3）在轴上，是否存在一点，使直线和的斜率的乘积为非零常数？若存在，求出点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：设直线与椭圆的交点坐标为.

（1）把代入可得：，     （2分）

则，当且仅当时取等号    （4分）

（2）由得，，（6分）

所以

          （9分）

（3）（理）当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，

由消去整理得 

则     ①          又      ②

若存在定点符合题意，且

          （11分）

把①、②式代入上式整理得

(其中都是常数)

要使得上式对变量恒成立，当且仅当

，解得                           （13分）

当时，定点就是椭圆的右顶点，此时，；   

当时，定点就是椭圆的左顶点，此时，；  （15分）

当直线与轴垂直时，由，解得两交点坐标为

，可验证：或

所以，存在一点（或），使直线和的斜率的乘积为

非零常数（或）.                      （16分）

【解析】略