Question

已知函数f（x）=x+

a

x

（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间．
（2）判断函数f（x）在区间（0，4）上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：（1）求f（x）的导数f′（x），利用导数判定函数f（x）的单调性和单调区间；
（2）结合（1），讨论a的取值，判定f（x）在区间（0，4）上的单调性．

解答： 解：（1）∵f（x）=x+

a

x

（a＞0），
∴f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，
令f′（x）=0，解得x=±

a

；
∴当x＜-

a

，或x＞

a

时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
当-

a

＜x＜

a

时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
∴f（x）的减区间是（-∞，-

a

）和（

a

，+∞），增区间是（-

a

，

a

）；
（2）当

a

≥4，即a≥16时，f′（x）在（0，4）上大于0，∴f（x）是增函数；
当

a

＜4，即0＜a＜16时，在x∈（0，

a

）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
在x∈（

a

，4）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
综上，a≥16时，f（x）在（0，4）上是增函数；
0＜a＜16时，f（x）在（0，

a

）上是增函数，
在（

a

，4）上是减函数．

点评：本题考查了利用函数的导数判定函数单调性问题，也考查了对字母系数的分类讨论问题，是中档题．