Question

设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a^x=b^y=2，2a+b=8，则

1

x

+

1

y

的最大值为

 

．

Answer 1

分析：先由a^x=b^y=2表示出x和y，因为x、y在指数位置，故用对数表达，再结合2a+b=8，利用基本不等式求最值即可．

解答：解：由a^x=b^y=2得x=log_a2，y=log_b2，
∴

1

x

+

1

y

=

1

loga2

+

1

logb2

=log₂a+log₂b=log₂ab，
又a＞1，b＞1，∴8=2a+b≥2

2ab

即ab≤8，
当且仅当2a=b，即a=2，b=4时取等号，
所以

1

x

+

1

y

=log₂ab≤log₂8=3．故(

1

x

+

1

y

)max=3．
故答案为：3

点评：本题考查指对互化、对数的换底公式、利用基本不等式求最值等知识，是函数和不等式的综合，难度一般．