Question

（2012•杭州一模）设x、y∈R，a＞1，b＞1，若a^x=b^y=2，a+

b

=4，则

2

x

+

1

y

的最大值为

4

．

Answer 1

分析：由题意可得，

2

x

+

1

y

=log2a2b，利用基本不等式可求得a²b≤16，从而可得答案．

解答：解：∵a＞1，b＞1，若a^x=b^y=2，
∴x=log_a2，y=log_b2，
∴

1

x

=log₂a，

1

y

=log₂b，
∴

2

x

+

1

y

=log2a2b；
又4=a+

b

≥2

a b

，又a＞1，b＞1，
∴0＜a

b

≤4，
∴a²b≤16（当且仅当a=2，b=4时取“=”）．
∴log2a2b≤4．
故答案为：4．

点评：本题考查对数的概念，考查基本不等式，求得a²b≤16是难点，也是关键，属于中档题．