Question

设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a^x=b^y=2，a+

b

=4，则

2

x

+

1

y

的最大值为（　　）

• A．3
• B．3

  2

• C．4
• D．4

  2

Answer 1

分析：由题意可得

2

x

+

1

y

=log2(a 2•b)，再利用基本不等式可求得a²b≤16，从而可得答案．

解答：解：∵a＞1，b＞1，若a^x=b^y=2，∴x=log_a2，y=log_b2，∴

1

x

=log₂a，

1

y

=log₂b，∴

2

x

+

1

y

=2log₂a+log₂b=log2(a 2•b)．
又4=a+

b

≥2

a b

，∴0＜a

b

≤4，∴0＜a²b≤16（当且仅当a=2，b=4时取“=”）．
∴log2(a 2•b)≤4，即 log2(a 2•b)的最大值为4．
故选C．

点评：本题考查对数的概念，考查基本不等式，求得a²b≤16是难点，也是关键，属于中档题．