Question

在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=5，b=2，△ABC的面积S_△ABC=3．
（1）求cos（A+B）的值；
（2）设函数f（x）=sin（x+2C），求f（

π

3

）的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用三角形面积公式列出关系式，将a，b，已知面积代入求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用诱导公式化简后，将cosC的值代入计算即可求出值；
（2）由（1）得到sinC与cosC的值，利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2C与cos2C的值，将x=

π

3

代入f（x）中计算即可求出f（

π

3

）的值．

解答： 解：（1）∵S_△ABC=

1

2

absinC=3，a=5，b=2，
∴sinC=

3

5

，
∵△ABC是锐角三角形，
∴cosC=

1-sin2C

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，
∵在△ABC中，A+B=π-C，
∴cos（A+B）=cos（π-C）=-cosC=-

4

5

；
（2）由（1）知，sinC=

3

5

，cosC=

4

5

，
∴sin2C=2sinCcosC=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

，cos2C=2cos²C-1=2×

16

25

-1=

7

25

，
∴f（

π

3

）=sin（

π

3

+2C）=sin

π

3

cos2C+cos

π

3

sin2C=

3

2

×

7

25

+

1

2

×

24

25

=

24+7 3

50

．

点评：此题考查了三角形面积公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式解本题的关键．