Question

【题目】已知函数（）．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，若函数的图象全部在直线的下方，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）求导数,分和两种情况进行讨论，可得函数的单调区间；

（2）函数的图象全部在直线的下方,等价于在上恒成立，令，则．分和两种情况讨论函数的情况即可.

试题解析：（1）函数的定义域为，且．

当时， ，函数在上单调递减；

当时，由，得，∴在上单调递增；由，得，∴在上单调递减．

（2）当时， ，则由题意知，不等式，

即在上恒成立．

令，则．

当时，则， 在区间上是增函数．　

∵，∴不等式在上不恒成立.

当时， 有唯一零点，即函数的图象与轴有唯一交点，

即不等式在上不恒成立.

当时，令，得，则在区间上， ， 是增函数；

在区间上， ， 是减函数；

故在区间上， 的最大值为，

由，得，即的取值范围为.