题目内容

如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点， $数学公式$ = $数学公式$ $数学公式$ ， $数学公式$ = $数学公式$ ， $数学公式$ = $数学公式$ ．
（1）用 $数学公式$ 、 $数学公式$ 表示向量 $数学公式$ 、 $数学公式$ 、 $数学公式$ 、 $数学公式$ 、 $数学公式$ ；
（2）求证：B、E、F三点共线．

解：（1）如图所示：解延长AD到G，使 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
连接BG、CG，得到四边形ABGC，
∵D是BC和AG的中点，
∴四边形ABGC是平行四边形，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．
∵F是AC的中点，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．
（2）证明：由（1）可知， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是共线向量，所以B、E、F三点共线．
分析：（1）由题意作出辅助线构成平行四边形ABGC，由四边形法则和D是AG的中点求出 $\text{[math]}$ ，由题意求出 $\text{[math]}$ ，由F是AC的中点求出 $\text{[math]}$ ，再由向量减法的三角形法则求出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ；
（2）由（1）求出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，故两个向量共线，即B、E、F三点共线．
点评：本题考查了向量的线性运算和共线向量的等价条件，主要运用了向量的数乘运算，向量加法的四边形和向量减法的三角形法则．