题目内容

设数列{an}满足：当n=2k-1（k∈N*）时，an=n；当n=2k（k∈N*）时，an=ak．
（1）求a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16；
（2）若Sn=a1+a2+a3+…+a2n-1+a2n，证明：Sn=4n-1+Sn-1（n≥2）；
（3）证明：
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜1-
1
4n
．
分析：（1）根据题设中数列的通项公式可求得原式=4a1+2a3+a5+a7求得答案．
（2）先把前n中，奇数项和偶数项分别计算，利用等差数列的求和公式求得(a1+a3+a5++a2n-1)=4n-1，代入即可求得答案．
（3）由2）知：Sn-Sn-1=4n-1，进而用叠加法求得Sn，进而利用
1
Sn
=
3
4n+2
＜
3
4n
利用等比数列的求和公式，求得
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜1-
1
4n
解答：解：（1）原式=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8
=a1+a1+a3+a1+a5+a3+a7+a1
=4a1+2a3+a5+a7
=4×1+2×3+5+7
=22

（2）Sn=a1+a2+a3++a2n-1+a2n
=(a1+a3+a5++a2n-1)+(a2+a4+a6++a2n)
=[1+3+5++(2n-1)]+(a2+a4+a6++a2n)
=4n-1+(a2+a4+a6++a2n)
=4n-1+(a1+a2++a2n-1)
=4n-1+Sn-1

（3）由2）知：Sn-Sn-1=4n-1，于是有：Sn-1-Sn-2=4n-2，Sn-2-Sn-3=4n-3，S2-S1=4，
上述各式相加得：Sn=S1+4+42++4n-1
=2+4+42++4n-1
=
1
3
(4n+2)，
∴
1
Sn
=
3
4n+2
＜
3
4n
，
∴
1
S1
+
1
S2
++
1
Sn
＜
3
4
(1+
1
4
+
1
42
++
1
4n-1
)=1-
1
4n
．
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合．考查了不等式的性质在数列中的应用．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c为实数
（1）证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
（2）设0＜c＜
1
3
，证明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）设0＜c＜
1
3
，证明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．
已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，当x1、x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）设数列an满足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通项公式．
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）
设数列{an}满足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求证：数列{an-
1
2
}为等比数列，并求数列{an}的通项an；
（2）求{an}的前n项和Sn．
设n∈N*，不等式组
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）设数列{an}满足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求证：n≥2时，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的条件下，比较(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)与4的大小．

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