Question

已知椭圆x²+by²=3a与直线x+y-1=0相交于A、B两点
（1）当a=

1

4

时，求实数b的取值范围；
（2）当|AB|=2

2

时，AB的中点M与椭圆中心连线的斜率为

1

5

时，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）因为圆x²+by²=3a与直线x+y-1=0相交于A、B两点，所以方程组

x2+by2=3a x+y-1=0

有两相异实根，可以通过判别式△来判断．
（2）设A（x₁，y₁） B（x₂，y₂），由

x2+by2=3a x+y-1=0

  得x2+b(1-x)2=3a，x1+x2=

2b

1+b

， x1x2=

b-3a

1+b

，再根据中点坐标公式，和斜率公式可得．

解答：解：（1）解

x2+by2=3a x+y-1=0

  得x2+b(1-x)2=3a
∴x²（1+b）-2bx+b-3a=0
由题意得：△=4b²-4（1+b）（b-3a）＞0
解得b＜3
又因为b＞0且b≠1
∴0＜b＜3且b≠1

（2）设A（x₁，y₁） B（x₂，y₂） 由（1）x1+x2=

2b

1+b

，  x1x2=

b-3a

1+b

∴|AB|=

1+1

，   

4b2 (1+b)2 -4× b-3a 1+b

=2

2

整理得：b²+3b-3a-3ab+1=0，
y1+y2=2-(x1+x2)=2-

2b

1+b

=

2

1+b

AB中点M(

b

1+b

，  

1

1+b

)
由题意得：KOM=

1 1+b

b 1+b

=

1

5

∴b=5
∴a=

41

18

所求椭圆方程为x2+5y2=

41

6

点评：本题考查了直线与椭圆位置关系的判断，做题时认真分析，找到切入点．