Question

已知直线l与椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为2+

3

，2-

3

，向量

m

=（ax₁，by₁），

n

=（ax₂，by₂），且

m

⊥

n

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）判断△AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为2+

3

，2-

3

，确定椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）先利用向量知识，可得4x₁x₂+y₁y₂=0，再分类讨论，求出面积，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知

a+c=2+ 3 a-c=2- 3

，∴

a=2 c= 3

，∴b²=a²-c²=1
∴椭圆的方程为

y2

4

+x2=1；
（Ⅱ）△AOB的面积为定值1．
∵

m

⊥

n

，∴a²x₁x₂+b²y₁y₂=0，∴4x₁x₂+y₁y₂=0
①若直线l斜率不存在，设直线l的方程为x=p，则x₁=x₂=p，y₁=-y₂，
∵4x₁x₂+y₁y₂=0，∴4x12-y12=0
∵

y12

4

+x12=1，∴x1=±

2

2

，y1=±

2

∴S_△AOB=

1

2

|x1||y1|=1；
②若直线l斜率存在，设直线l的方程为y=kx+r，代入椭圆方程，可得（4+k²）x²+2krx+r²-4=0
∴x₁+x₂=-

2kr

4+k2

，x₁x₂=

r2-4

4+k2

∵4x₁x₂+y₁y₂=0
∴（4+k²）x₁x₂+kr（x₁+x₂）+r²=0
∴r²-4-

2k2r2

4+k2

+r²=0
∴2r²=4+k²，∴r²≥2
∴△=16（k²-r²+4）＞0
设原点O到直线l的距离为d，则S_△AOB=

1

2

d•|AB|=

1

2

×

|r|

k2+1

×

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

2r2

k2+4

=1
综上可知，△AOB的面积为定值1．

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．