Question

（2012•烟台一模）直线l与椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，已知

m

=（ax₁，by₁），

n

=（ax₂，by₂），若

m

⊥

n

且椭圆的离心率e=

3

2

，又椭圆经过点(

3

2

，1)，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率e=

3

2

，椭圆经过点(

3

2

，1)，建立方程组，求得几何量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）设l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合

m

•

n

=0可得方程，从而可求直线l的斜率k的值；
（Ⅲ）分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=-y₂，利用

m

•

n

=0，A在椭圆上，可求△AOB的面积；②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合

m

•

n

=0可得△AOB的面积是定值．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率e=

3

2

，椭圆经过点(

3

2

，1)，∴

e= c a = a2-b2 a = 3 2 1 a2 + 3 4b2 =1

…2分
∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为

y2

4

+x2=1…3分
（Ⅱ）依题意，设l的方程为y=kx+

3

由

y=kx+ 3 y2 4 +x2=1

，∴(k2+4)x2+2

3

kx-1=0
显然△＞0，x1+x2=

-2 3k

k2+4

，x1x2=

-1

k2+4

…5分
由已知

m

•

n

=0得：a2x1x2+b2y1y2=4x1x2+(kx1+

3

)(kx2+

3

)=(4+k2)x1x2+

3

k(x1+x2)+3=(k2+4)(-

1

k2+4

)+

3

k•

-2 3 k

k2+4

+3=0
解得k=±

2

…6分．
（Ⅲ）①当直线AB斜率不存在时，即x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵

m

•

n

=0，∴4

x

2 1

-

y

2 1

=0，
∵A在椭圆上，∴

4x12

4

+x12=1，∴|x1|=

2

2

，|y₁|=

2

∴S=

1

2

|x1||y1-y2|=1；
②当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程，可得（k²+4）x²+2ktx+t²-4=0
△=4k²t²-4（k²+4）（t²-4）＞0，x₁+x₂=

-2kt

k2+4

，x₁x₂=

t2-4

k2+4

∵

m

•

n

=0，∴4x₁x₂+y₁y₂=0，∴4x₁x₂+（kx₁+t）（kx₂+t）=0
∴2t²-k²=4
∴S=

1

2

×

|t|

1+k2

|AB|=

|t| 4k2-4t2+16

k2+4

=

4t2

2|t|

=1
综上，△AOB的面积是定值1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行求解．