Question

2．已知f（x）=-2asin（2x+$\frac{π}{6}$）+2a+b，
（1）若a=1，b=-1，求f（x）的最大值和最小值；
（2）当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]时，是否存在常数a，b∈Q，使得f（x）的值域为[-3，$\sqrt{3}$-1]？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）a=1，b=-1，f（x）=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，即可求f（x）的最大值和最小值；
（2）根据函数的定义域，得-1≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$然后分a的正负进行讨论，建立关于a、b的方程组，解之可得存在a=-1，b=1，符合题意

解答 解：（1）a=1，b=-1，f（x）=-2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
∴f（x）的最大值为3，最小值-1；
（2）存在a=-1，b=1满足要求．
∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴$\frac{2π}{3}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{3}$，
∴-1≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
若存在这样的有理a，b，则
（1）当a＞0时，$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}a+2a+b=-3}\\{2a+2a+b=\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$无解．
（2）当a＜0时，$\left\{\begin{array}{l}{2a+2a+b=-3}\\{-\sqrt{3}a+2a+b=\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$，解得a=-1，b=1，
即存在a=-1，b=1满足要求．

点评 本题给出三角函数表达式，讨论使得函数值域为已知区间的参数取值范围．着重考查了三角函数的图象与性质、三角函数的最值和二次函数在闭区间上的值域等知识，属于中档题．