Question

已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，a₂=5，S₅=35，{b_n}是等比数列，b₁+b₃=10，b₄=9b₂＞0．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且a₂=5，S₅=35，可求公差d，首项a₁，从而得a_n；由{b_n}是等比数列，且b₁+b₃=10，b₄=9b₂＞0，可求公比q，首项b₁；从而得b_n．
（2）用错位相减法可求出T_n的表达式．

解答：（1）∵S_n是等差数列{a_n}的前n项和，且a₂=5，S₅=35，
∴

a1+d=5 5a1+10d=35

，解得d=2，a₁=3；
∴{a_n}的通项公式a_n=3+2（n-1）=2n+1（n∈N^*）；
又{b_n}是等比数列，且b₁+b₃=10，b₄=9b₂＞0；
∴

b1(1+q2)=10 q2= b4 b2 =9 q＞0

，解得q=3，b₁=1；
∴{b_n}的通项公式b_n=1×3^n-1=3^n-1（n∈N^*）．
（2）∵T_n=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n
=3×1+5×3¹+7×3²+9×3³+…+（2n-1）×3^n-2+（2n+1）×3^n-1①，
∴3T_n=3×3+5×3²+7×3³+9×3⁴+…+（2n-1）×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ②；
①-②得：-2T_n=3+2（3¹+3²+3³+…+3^n-1）-（2n+1）×3ⁿ=3+2×

3(1-3n-1)

1-3

-（2n+1）×3ⁿ=-2n•3ⁿ，
∴T_n=n•3ⁿ．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的性质与通项公式以及有错位相减法对数列求和的知识，是易错题．