Question

（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1, 0）、B（1, 0）, 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2．记动点C的轨迹为曲线W．

       （Ⅰ）求W的方程；

       （Ⅱ）经过点（0, ）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q，

求k的取值范围；

       （Ⅲ）已知点M（，0），N（0, 1），在（Ⅱ）的条件下，是否存在常数k，使得向量 与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解（Ⅰ） 设C（x, y）,

∵ , ,

∴ ,

∴ 由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2的椭圆除去与x轴的两个交点．

∴ ． ∴ ．

∴ W:   ．…………………………………………… 5分

（Ⅱ） 设直线l的方程为，代入椭圆方程，得．

整理，得．        ①………………………… 7分

因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

，解得或．

∴ 满足条件的k的取值范围为 ………… 10分

（Ⅲ）设P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂）,则＝（x₁+x₂，y₁+y₂）,

由①得．                ②

又                ③

因为，， 所以．……………………… 12分

所以与共线等价于．

将②③代入上式，解得．

所以不存在常数k，使得向量与共线．……………………15分