Question

如图，在体积为1的三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA₁＝1，P为线段AB上的动点．

   （1）求证：CA₁⊥C₁P；

   （2）当AP为何值时，二面角C₁－PB₁－A₁的大小为？

Answer 1

解：（1）证明：∵AA₁⊥底面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥A             B．

又∵AB⊥AC，

∴以A为原点，AC，AB，AA₁所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系．

又∵VABC－A₁B₁C₁＝AB×AC×AA₁＝1，∴AB＝2．（2分）

设AP＝m，则P（0，m,0），而C₁（1,0,1），C（1,0,0），A₁（0,0,1），

∴＝（－1,0,1），＝（－1，m，－1），

∴·＝（－1）×（－1）＋0×m＋1×（－1）＝0，

∴CA₁⊥C₁P．（6分）

   （2）设平面C₁PB₁的一个法向量n＝（x，y，z），则，即．

令y＝1，则n＝（2,1，m－2），（9分）

而平面A₁B₁P的一个法向量＝（1,0,0），

依题意可知cos＝＝＝，

∴m＝2＋（舍去）或m＝2－．

∴当AP＝2－时，二面角C₁－PB₁－A₁的大小为．（12分）