Question

已知函数f（x）=2^x（x∈R），且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数．若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：先根据函数奇偶性定义，解出奇函数f（x）和偶函数g（x）的表达式，将这个表达式不等式af（x）+g（2x）≥0，通过变形可得a≥==）×，通过换元，讨论出右边在x∈（0，1]的最大值，可以得出实数a的取值范围．
解答：解：∵h（x）为定义在R上的偶函数，g（x）为定义在R上的奇函数
∴g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）
又∵由h（x）+g（x）=2^x，
h（-x）+g（-x）=h（x）-g（x）=2^-x，
∴h（x）=，g（x）=
不等式2ag（x）+h（2x）≥0在[1，2]上恒成立，化简为a≥0，x∈[1，2]
∵1≤x≤2∴2^x-2^-x＞0
令t=2^-x-2^x，
整理得：a≥==
=t=（），则由可知y=（t+）在[]单调递增
∴当t=-时，
因此，实数a的取值范围是a≥
故答案为a≥-
点评：本题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．