Question

数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足．
（Ⅰ）求证数列为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{b_n}的前n项和T_n，并求使对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，知当n≥2时，，故（n≥2），由此能够证明数列为等差数列．并能求出求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由，知=，故，由此能求出最大正整数m的值．
解答：解：（Ⅰ）∵
当n≥2时，，
整理得，（n≥2），（2分）
又，（3分）
∴数列为首项和公差都是1的等差数列．（4分）
∴，又S_n＞0，∴（5分）
∴n≥2时，，
又a₁=S₁=1适合此式              （6分）
∴数列{a_n}的通项公式为（7分）
（Ⅱ）∵（8分）
∴
=
=（10分）
∴，依题意有，解得-1＜m＜4，
故所求最大正整数m的值为3   （12分）
点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．