Question

是否存在实数a，使函数f（x）=log_a（ax²-x）在区间[2，4]上是增函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：设u（x）=ax²-x，当a＞1时，则u（x）=ax²-x 在[2，4]上为增函数，故应有 ，由此求得a的范围．当0＜a＜1 时，则u（x）=ax²-x
在[2，4]上为减函数，应有，由此求得a的范围．综合可得结论．
解答：解：（1）设u（x）=ax²-x  当a＞1时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，则u（x）=ax²-x 在[2，4]上为增函数，
故应有 ，解得 a＞．…（6分）
∴a＞1．…（7分）
（2）当0＜a＜1 时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，则u（x）=ax²-x 在[2，4]上为减函数，应有，
解得a∈∅．…（14分）
综上，a＞1时，函数f（x）=log_a（ax²-x）在区间[2，4]上为增函数．…（16分）
点评：本题主要考查复合函数的单调性，体现了分了讨论、转化的数学思想，属于中档题．