Question

给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x₀，都有函数值f（x₀）∈D，则称函数y=f（x）在D上封闭．
（1）若定义域D₁=（0，1），判断下列函数中哪些在D₁上封闭，且给出推理过程f₁（x）=2x-1，f₂（x）=-

1

2

x2-

1

2

x+1，f₃（x）=2^x-1，f₄（x）=cosx．；
（2）若定义域D₂=（1，2），是否存在实数a使函数f（x）=

5x-a

x+2

在D₂上封闭，若存在，求出a的值，并给出证明，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）若定义域D₁=（0，1），则f₁（

1

2

）=0∉D，故f（x）在D₁上不封闭；f₂（x）∈（0，1）⇒f₂（x）在D₁上封闭；f₃（x）∈（0，1）⇒f₃（x）在D₁上封闭；₄（x）∈（cos1，1）?（0，1）⇒f₄（x）在D₁上封闭；
（2）由f（x）=5-

a+10

x+2

，假设f（x）在D₂上封闭，可分a+10＞0，a+10=0，a+10＜0，三种情况讨论f（x）在D₂上封闭时a的取值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（1）∵f₁（

1

2

）=0∉（0，1），
∴f（x）在D₁上不封闭；
∵f₂（x）=-（x+

1

2

）²+

9

8

在（0，1）上是减函数，
∴0＜f₂（1）＜f₂（x）＜f₂（0）=1，
∴f₂（x）∈（0，1）⇒f₂（x）在D₁上封闭；
∵f₃（x）=2^x-1在（0，1）上是增函数，∴0=f₃（0）＜f₃（x）＜f₃（1）=1，
∴f₃（x）∈（0，1）⇒f₃（x）在D₁上封闭；
∵f₄（x）=cosx在（0，1）上是减函数，∴cos1=f₄（1）＜f₄（x）＜f₄（0）=1，
∴f₄（x）∈（cos1，1）?（0，1）⇒f₄（x）在D₁上封闭；
（2）f（x）=5-

a+10

x+2

，假设f（x）在D₂上封闭，对a+10讨论如下：
若a+10＞0，则f（x）在（1，2）上为增函数，故应有

f(1)≥1 f(2)≤2

⇒

a≤2 a≥2

⇒a=2 
若a+10=0，则f（x）=5，此与f（x）∈（1，2）不合，
若a+10＜0，则f（x）在（1，2）上为减函数，故应有

f(1)≤2 f(2)≥1

⇒

a≥-1 a≤-6

，无解，
综上可得，a=2时f（x）在D₂上封闭．

点评：本题考查的知识点是函数单调的判断与证明，二次函数的性质，指数函数的单调性，余弦函数的单调性，其中正确理解新定义函数y=f（x）在D上封闭是解答本题的关键．