Question

圆心在直线y=x上，圆与直线E：x+2y-1=0相切，圆在y轴上截得的弦长为2，求圆的标准方程．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：本题先用待定系数法设出圆的标准方程，再利用圆心在直线上，得到一个关系式，用圆与直线相切得到一个关系式，再通过弦长和勾股定理得到一个关系式，解关系式组求出参数，得到圆的方程．

解答： 解：由于圆心在直线y=x上所以可以设圆心的坐标为（a，a）
设圆的半径为r，
∵圆与直线E相切，
∴圆心（a，a）到直线的距离d=

|a+2a-1|

12+22

=

|3a-1|

5

=r（1）
又因为圆y轴截得的弦长为2，半弦长为1，
所以a²+1=r²将其带入（1）式得

(3a-1)2

5

=a2+1，
解得a=2或a=-

1

2

．
∴圆的标准方程为（x-2）²+（y-2）²=5或(x+

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

5

2

点评：本题考查了圆的方程知识和函数方程思想，本题思维难度不大，但有一定的计算量，属于中档题．