Question

3．已知椭圆的离心率$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，左焦点在直线2x-y+2=0上．
（1）求椭圆方程；
（2）若AB是过椭圆的一个焦点F的弦，AB的倾斜角为$\frac{π}{4}$，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的性质：$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，左焦点（-c，0）在直线2x-y+2=0上．求出c，a，从而得到椭圆方程；
（2）由倾斜角可得直线的斜率k=1，过焦点，从而得到直线方程，在根据弦长公式求解．

解答 解（1）由题意，设椭圆的左焦点坐标为（-c，0），焦点在直线2x-y+2=0上．
则得：-2c+2=0，解得：c=1；
∵椭圆的离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{c}{{{a^{\;}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
解得：$a=\sqrt{5}$
所以椭圆方程为$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）由题可得F（1，0），设直线过F，倾斜角$\frac{π}{4}$；
∴k=tan$\frac{π}{4}$=1
∴直线AB为y=x-1；
直线与椭圆相交A，B两点：
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_{\;}}^2}}{5}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=x-1\end{array}\right.$化简得：9x²-10x-15=0
∴${x_1}+{x_2}=\frac{10}{9}$，${x_1}{x_2}=-\frac{15}{9}$
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{2}{x}_{1}}$
∴|AB|=$\frac{{16\sqrt{5}}}{9}$．

点评 本题考查了椭圆方程的求法和椭圆与直线相交的弦长问题．属于基础题．