Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是以∠A=60°的菱形，PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点M，N分别为棱AD，PC的中点证明：
（1）DN∥平面PMB；
（2）MB⊥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）取PB的中点Q，连接MQ，NQ，要证DN∥平面PMB，只要证DN∥MQ；
（2）要证MB⊥平面PAD，只要证明PD⊥MB，MB⊥AD即可．

解答 解：（1）证明：取PB的中点Q，连接MQ，NQ，
∵M，N分别是棱AD，PC的中点，
∴QN∥BC∥MD，并且QN=MD，
∴四边形MDNQ为平行四边形，
∴DN∥MQ，又MQ?平面PMB，DN?平面PMB，
∴DN∥平面PMB；
（2）证明：∵PD⊥平面ABCD，MB?平面ABCD，
∴PD⊥MB；
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵M为AD的中点，
∴MB⊥AD，
又AD∩PD=D，
∴MB⊥平面PAD．

点评 本题考查了几何体棱锥中线面平行和面面垂直的判断，考查了空间想象能力和推理论证能力，关键是转化为线线关系解答，属于中档题．