Question

14．在边长为1的等边三角形ABC中，设$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow{CE}$，
（1）用向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$表示向量$\overrightarrow{AD}$和$\overrightarrow{BE}$，并求$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$；
（2）求$\overrightarrow{AD}$在$\overrightarrow{BE}$方向上的射影．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$即可得到$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=2（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$，从而求出$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，而同样由$\overrightarrow{CA}=3\overrightarrow{CE}$即可得出$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，进而得到$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，这样进行数量积的运算即可求出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}=-\frac{1}{4}$；
（2）可知$\overrightarrow{AD}$在$\overrightarrow{BE}$上的射影为$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{BE}|}$，从而求出$|\overrightarrow{BE}|$即可，这样可由${\overrightarrow{BE}}^{2}=（-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}）^{2}$求出${\overrightarrow{BE}}^{2}$，从而得出$|\overrightarrow{BE}|$的值，从而得出射影的值．

解答 解：（1）如图，
$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$；
∴$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=2（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
$\overrightarrow{CA}=3\overrightarrow{CE}$；
∴$-\overrightarrow{AC}=3（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}）$；
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•（-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}）$
=$-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}-\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}{\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$-\frac{1}{2}-\frac{1}{12}+\frac{1}{3}$
=$-\frac{1}{4}$；
（2）${\overrightarrow{BE}}^{2}=（-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}）^{2}$
=${\overrightarrow{AB}}^{2}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{4}{9}{\overrightarrow{AC}}^{2}$
=$1-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}$
=$\frac{7}{9}$；
∴$|\overrightarrow{BE}|=\frac{\sqrt{7}}{3}$；
∴$\overrightarrow{AD}$在$\overrightarrow{BE}$方向上的射影为：$|\overrightarrow{AD}|cos＜\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BE}＞=|\overrightarrow{AD}|•\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{BE}|}=\frac{-\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{3}}=-\frac{3\sqrt{7}}{28}$．

点评 考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，一个向量在另一个向量方向上的射影的定义及计算公式．