Question

如图，△ABC中，AC＝BC＝AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．

(1)求证：GF∥底面ABC；

(2)求证：AC⊥平面EBC；

(3)求几何体ADEBC的体积V.

Answer 1

 [解]　(1)证明：连接AE，如下图所示．

∵ADEB为正方形，

∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点，

又G是EC的中点，

∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，

∴GF∥平面ABC.

(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，

又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB⊂平面ABED，

∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.

又∵AC＝BC＝AB，

∴CA2＋CB2＝AB2，

∴AC⊥BC.

又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.

(3)取AB的中点H，连GH，∵BC＝AC＝AB＝，

∴CH⊥AB，且CH＝，又平面ABED⊥平面ABC

∴GH⊥平面ABCD，∴V＝×1×＝.