Question

8．对于任意的x＞1都有ax+$\frac{x}{x-1}$＞b成立，其中a＞0，b＞0，试求a、b之间满足的关系．

Answer 1

分析 变形可得ax+$\frac{x}{x-1}$=a（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1+a，由基本不等式可得ax+$\frac{x}{x-1}$的最小值，可得结论．

解答 解：由题意可得ax+$\frac{x}{x-1}$=ax+$\frac{x-1+1}{x-1}$
=ax+$\frac{1}{x-1}$+1=a（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1+a
≥2$\sqrt{a（x-1）•\frac{1}{x-1}}$+1+a=（1+$\sqrt{a}$）²，
当且仅当a（x-1）=$\frac{1}{x-1}$即x=1+$\frac{\sqrt{a}}{a}$时取等号，
由题意可得求a、b之间满足的关系为：（1+$\sqrt{a}$）²＞b．

点评 本题考查基本不等式求最值，凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．