题目内容
20．已知抛物线y2=4x，椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{b}=1$，它们有共同的焦点F2，若P是两曲线的一个公共点，且F1是椭圆的另一个焦点，则△PF1F2的面积为（ ）| A． | $\sqrt{6}$ | B． | $2\sqrt{6}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | 2 |
分析 由已知得椭圆的半焦距c=1，m=8，设P（x1，y1），求出x1=$\frac{3}{2}$，由此能求出${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$．
解答 解：依题意可知抛物线y2=4x焦点为（1，0），
∴椭圆的半焦距c=1，即9-m=1，m=8，
设P（x1，y1），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}=1}\\{{{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}}\end{array}\right.$，得 2x21+9x1-18=0，∴x1=$\frac{3}{2}$，或x1=-6（舍）．
∵x=-1是y2=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F1．
设点P到抛物线y2=4x的准线的距离为PN，则|PF2|=|PN|．
又|PN|=x1+1=$\frac{5}{2}$，
∴|PF2|=$\frac{5}{2}$，|PF1|=2a-$\frac{5}{2}$=$\frac{7}{2}$．
过点P作PP1⊥x轴，垂足为P1，PP1=$\sqrt{6}$，
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F1F2|•|PP1|=$\sqrt{6}$．
故选：A．
点评 本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线、椭圆性质的合理运用．
练习册系列答案
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15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的两个焦点分别为F1，F2，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且过点（2，$\sqrt{2}$）．又M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1，F2，且这两条直线互相垂直，则$\frac{1}{{|{MN}|}}+\frac{1}{{|{PQ}|}}$为定值（ ）
| A． | $\frac{{3\sqrt{2}}}{8}$ | B． | $\frac{{5\sqrt{2}}}{8}$ | C． | $\frac{{7\sqrt{2}}}{8}$ | D． | $\frac{{\sqrt{2}}}{8}$ |
5．已知椭圆C2过椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{14}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$的两个焦点和短轴的两个端点，则椭圆C2的离心率为（ ）
| A． | $\frac{2}{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{1}{3}$ |