Question

设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为

3

2

，过椭圆内一点P（2，1）的直线交椭圆于A、B两点，|AB|=

10

，且P点恰为AB的中点．
（1）求直线AB的方程；
（2）求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率得到椭圆中参数a，b的关系，设出椭圆方程及两个交点坐标，代入椭圆方程，两式相减，利用点差法求出直线的斜率，求出直线的方程．
（2）将直线的方程代入椭圆方程，得到关于x的方程，利用韦达定理及弦长公式列出方程，求出椭圆中的参数，进一步求出椭圆的方程．

解答：解：设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵e2=

3

4

=

c2

a2

=

a2-b2

a2

，
∴a²=4b²-----------------------------------------------2′
于是椭圆方程可化为x²+4y²=4b²
（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁²+4y₁²=4b²，x₂²+4y₂²=4b²
两式相减得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∵A、B中点为P（2，1），
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2
代入上式得

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

--------------------------------------------------------------------6′
即直线AB的斜率为-

1

2

∴直线AB的方程为y-1=-

1

2

(x-2)，即x+2y-4=0-----------------------8′
（2）把x+2y-4=0代入x²+4y²=4b²得x²-4x+8-2b²=0
由|AB|=

10

得

10

=

1+(- 1 2 )2

|x1-x2|
即10=

5

4

[(x1+x2)2-4x1x2]
把x₁+x₂=4，x₁x₂=8-2b²代入得b²=3-------------------------------------------12′
∴a²=12
∴椭圆方程为

x2

12

+

y2

3

=1------------------------------------------------------------------14′

点评：解决直线与圆锥曲线的相交的有关问题，一般的思路是将直线与圆锥曲线方程联立，得到关于应该未知数的方程，利用韦达定理来解决．