Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-2），离心率为

6

3

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A（0，3）的直线l与椭圆交于M、N两点，且|BM|=|BN|，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）利用离心率e=

c

a

=

6

3

，b=2，a²=b²+c²即可得出；
（2）当直线l斜率不存在时，易知不满足题设要求．可设直线l的方程为：y=kx+3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．MN的中点为P（x₀，y₀）．
把直线方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，由于|BM|=|BN|，利用垂直平分即可得出直线BP的斜率．

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，可设椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
椭圆一个顶点为B（0，-2），∴b=2，
∵离心率为

6

3

，∴

c

a

=

6

3

，∴

c2

a2

=

2

3

．①
又∵a²=c²+b²，∴a²=c²+4…②
     联立①②解得，a²=12      
∴椭圆的方程为：

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）当直线l斜率不存在时，易知不满足题设要求．
可设直线l的方程为：y=kx+3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．MN的中点为P（x₀，y₀）．
由 

y=kx+3 x2 12 + y2 4 =1

消去x 得 （3k²+1）x²+18kx+15=0，
要使直线l与椭圆交于M、N两点，则必须满足：△=（18k）²-60×（3k²+1）＞0，即 k2＞

5

12

…（*）
则x1+x2=-

18k

3k2+1

，∴x0=

x1+x2

2

=-

9k

3k2+1

，y0=kx0+3=

3

3k2+1

则P(-

9k

3k2+1

，

3

3k2+1

)，
∵|BM|=|BN|，∴BP⊥MN，
又 B（0，-2）∴ kBP=

3 3k2+1 +2

- 9 3k2+1

=-

1

k

，
解得：k=±

6

3

，满足（*）式   
∴直线l的方程是y=±

6

3

x+3．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、利用斜率关系及其中点坐标公式夹角垂直平分问题等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．