题目内容

已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的离心率是
3
2
，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和为4．
（1）求椭圆标准方程；
（2）设椭圆长轴的左端点为A，P是椭圆上且位于第一象限的任意一点，AB∥OP，点B在椭圆上，R为直线AB与y轴的交点，证明：
AB
•
AR
=2
OP
2．
分析：（1）由题意设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率结合长轴长及c2=a2-b2即可求得答案；
（2）由椭圆方程求出A的坐标，设出P、B、R的坐标，由P和点B都在椭圆上得两点的坐标适合椭圆方程，再由AB∥OP得其斜率相等，列式得到P、B两点坐标的关系式，写出直线AB的方程，把R的坐标代入AB的方程得到B和R的坐标的关系式，然后运用坐标的关系分别表示出等式
AB
•
AR
=2
OP
2的左右两边，从而问题得到证明．
解答：（1）解：根据题设，可设椭圆标准方程为：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)
则离心率e=
c
a
=
3
2
，c2=a2-b2(c＞0)，由椭圆定义，得2a=4
解得a=2，b=1，c=
3

所以椭圆标准方程为：
x2
4
+y2=1
（2）证明：由题意得A（-2，0），设P（x1，y1），B（x2，y2），R（0，y3），其中x1＞0，y1＞0，
点P和点B都在椭圆上，则有
x
2
1
4
+
y
2
1
=1①
x
2
2
4
+
y
2
2
=1②
由AB∥OP，有kOP=
y1-0
x1-0
=kAB=
y2-0
x2-(-2)
，
即
y1
x1
=
y2
x2+2
③
由x1＞0，y1＞0可知x2≠-2．
AB直线方程为：y-0=kAB[x-（-2）]，即y=
y2
x2+2
(x+2)．
把R（0，y3）代入，得y3=
2y2
x2+2

所以有
AB
=(x2+2，y2)，
OP
=(x2，y2)，
AR
=(2，
2y2
x2+2
)，
可得：
AB
•
AR
=2(x2+2)+
2
y
2
2
x2+2
④
2|
OP
|2=2(
x
2
1
+
y
2
1
)⑤
由①，②，③得：
x
2
1
=x2+2⑥
由①，⑤得：2|
OP
|2=2(
x
2
1
+
y
2
1
)=2+
3
2
x
2
1
⑦
由②，④得：
AB
•
AR
=2(x2+2)+
2
y
2
2
x2+2
=5+
3
2
x2⑧
由⑦，⑥得：2|
OP
|2=2(
x
2
1
+
y
2
1
)=2+
3
2
x
2
1
=5+
3
2
x2⑨
由⑧，⑨可证得：
AB
•
AR
=2
OP
2．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，训练了代值思想方法，解答此题的关键是在设出点的坐标后能找到各坐标之间的关系，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．
练习册系列答案
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已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx-y=0，若m在集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是
 
．
（2013•大兴区一模）已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为
3
2
，实轴长为4，则双曲线的方程是
x2
4
-
y2
5 
=1
x2
4
-
y2
5 
=1
．
已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C，过点P（2，
3
）且离心率为2，则双曲线C的标准方程为
x2
3
-
y2
9
=1
x2
3
-
y2
9
=1
．
（2010•合肥模拟）已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的方程为y=
1
2
x，则此双曲线的离心率为（　　）
已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为
3
x-y=0，则该双曲线的离心率为（　　）

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