题目内容

已知：椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0），过点A（-a，0），B（0，b）的直线倾斜角为 $数学公式$ ，原点到该直线的距离为 $数学公式$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于零的直线过D（-1，0）与椭圆交于E，F两点，若 $数学公式$ ，求直线EF的方程；
（3）对于D（-1，0），是否存在实数k，直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，且|DP|=|DQ|？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，b=1，
所以，椭圆方程为： $\text{[math]}$ ；
（2）设直线EF的方程为：x=my-1（m＞0），代入 $\text{[math]}$ ，得（m²+3）y²-2my-2=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ ，得y₁=-2y₂．
由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
得 $\text{[math]}$ ，∴m=1，m=-1（舍去），所以，直线EF的方程为：x=y-1，即x-y+1=0．
（3）记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），将y=kx+2代入 $\text{[math]}$ ，
得（3k²+1）x²+12kx+9=0（*），x₁，x₂是此方程的两个相异实根．
设PQ的中点为M，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
由|DP|=|DQ|，得DM⊥PQ，∴ $\text{[math]}$ ，∴3k²-4k+1=0，得k=1或 $\text{[math]}$ ．
但k=1， $\text{[math]}$ 均使方程（*）没有两相异实根，∴满足条件的k值不存在．
分析：（1）由直线AB的倾斜角，可知斜率；由S_△OAB的面积公式，可得a，b的值；从而得椭圆的方程．
（2）直线EF过点D（-1，0），可设为x=my-1（m＞0）代入椭圆方程，可得关于y的方程；设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ ，可得y₁、y₂的关系；由y₁+y₂，y₁y₂，从而得m的值，以及直线EF的方程．
（3）设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），把y=kx+2代入椭圆方程，得关于x的方程（*）；x₁，x₂是此方程的两个相异实根．设PQ的中点为M，可表示x_M，y_M；由|DP|=|DQ|，可得DM⊥PQ，从而得k_DM的值，得k的值；验证方程（*）无两相异实根，知满足条件的k不存在．
点评：本题考查了直线与椭圆的综合应用问题，解题时灵活运用了椭圆的标准方程，向量，根与系数的关系等知识，是综合性较强的题目．