题目内容

已知：椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）过（0，1）点，离心率 $数学公式$ ；直线l：y=kx+m（m＞0）与圆O：x²+y²=1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B，（O为坐标原点）．
Ⅰ．求椭圆C的方程及m与k的关系式m=f（k）；
Ⅱ．设 $数学公式$ =θ，且满足 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ 求直线l的方程；
Ⅲ．在Ⅱ．的条件下，求三角形AOB的面积．

解：Ⅰ．∵椭圆 $\text{[math]}$ ，过（0，1）点，∴b=1，
$\text{[math]}$ ∴a²=2，
∴椭圆C方程为： $\text{[math]}$ ；
∵直线l：y=kx+m（m＞0）与圆x²+y²=1相切，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ；
Ⅱ． $\text{[math]}$ 消去y得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=8k²＞0，∴k≠0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |•cosθ= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
又 $\text{[math]}$
k²=1，k=±1；∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
直线l的方程为： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
Ⅲ．由Ⅱ．知k=±1； $\text{[math]}$ 消去y得 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 由弦长公式： $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴直线AB过 $\text{[math]}$ 点；
∵＜ $\text{[math]}$ ＞=θ，
且 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ ，k_OB=tanθ=±2
∴l_OB：y=±2x，与 $\text{[math]}$
联立解得： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
由两点得AB的方程为： $\text{[math]}$ ，
由前面解知：|OA|为三角形的底边，|y_B|为三角形的高， $\text{[math]}$ ，S_△AOB= $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |•|y_B|= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：Ⅰ．由题意可知b=1，a²=2，由此可以求出椭圆C的方程．再由直线l：y=kx+m（m＞0）与圆x²+y²=1相切，能够导出m与k的关系式m=f（k）．
Ⅱ．由 $\text{[math]}$ 消去y得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，然后由根的判别式和根与系数的关系求直线l的方程．
Ⅲ．|OA|为三角形的底边，|y_B|为三角形的高，由此能够推导出三角形AOB的面积．
点评：本题考查椭圆知识的综合运用，有一定的难度，在解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．