Question

已知数列{a_n}满足a1=1，an=

1

2

an-1+1(n≥2)．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求证：数列{a_n-2}是等比数列；
（3）求a_n，并求{a_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}满足a1=1，an=

1

2

an-1+1(n≥2)，分别令n=1，2，3，能求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）由

an-2

an-1-2

=

1 2 an-1-1

an-1-2

=

1 2 (an-1-2)

an-1-2

=

1

2

，能够证明数列{a_n-2}是等比数列．
（3）由（2）得an=2-(

1

2

)n-1，由此能求出{a_n}前n项和S_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}满足a1=1，an=

1

2

an-1+1(n≥2)，
∴a2=

1

2

a1+1=

3

2

，a3=

1

2

a2+1=

7

4

，a4=

1

2

a3+1=

15

8

．…（3分）
（2）∵

an-2

an-1-2

=

1 2 an-1-1

an-1-2

=

1 2 (an-1-2)

an-1-2

=

1

2

，
又a₁-2=-1，
∴数列{a_n-2}是以-1为首项，

1

2

为公比的等比数列．…（7分）
（注：文字叙述不全扣1分）
（3）由（2）得an-2=-1×(

1

2

)n-1，则an=2-(

1

2

)n-1，…（9分）
∴Sn=2n-[1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1]=2n-

1×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=2n-2+(

1

2

)n-1．…（12分）

点评：本题考查数列中各项的求法，考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．