Question

【题目】已知为函数的导函数，且.

（1）判断函数的单调性；

（2）若，讨论函数零点的个数.

Answer 1

【答案】(1) 时， 单调递减， 时， 单调递增(2) 当时， 有一个零点；当和或时， 有两个零点，当且， 由三个零点.

【解析】试题分析：(1)首先明确的表达式，求出在上单调递增，且，从而得到的单调区间；

（2）由，得或，若，即，

转而判断直线与的交点个数即可.

试题解析：

（1）对，求导可得，

所以，与是，所以，

所以，

于是在上单调递增，注意到，

故时， 单调递减， 时， 单调递增.

（2）由（1）可知，

由，得或，

若，则，即，

设

所以在上单调递增，在上单调递减，

分析知时， 时， 时， ，

现考虑特殊情况：

①若直线与相切，

设切点为，则 ，整理得，

设，显然在单调递增，

而，故，此时.

②若直线过点，由，则，则，

结合图形不难得到如下的结论：

当时， 有一个零点；

当和或时， 有两个零点，

当且， 由三个零点.