Question

12．已知三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=AP，∠BAC=90°，D、E分别是AB，PC的中点，BF=2FC，△ABC是边长为2的等边三角形，O为它的中心，$PB=PC=\sqrt{2}$，D为PC的中点．
（1）求证：PD∥平面AEF；
（2）求AC与平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BF的中点G，连结DG、PG，DG∥AF，EF∥PG，从而平面PDG∥平面AEF，由此能证明PD∥平面AEF．
（2）取AC的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABC，过H作HM⊥AF于M，连结EM，过H作HN⊥EM于N，连结AN，则∠HAN为AC于平面AEF所成的角，由此能求出AC与平面AEF所成角的正弦值．

解答 证明：（1）取BF的中点G，连结DG、PG，
∵D是AB的中点，∴DG∥AF，又BF=2FC，∴F为CG的中点，
又E为PC的中点，∴EF∥PG，
又EF∩AF=F，∴平面PDG∥平面AEF，
∴PD∥平面AEF．
解：（2）取AC的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABC，
过H作HM⊥AF于M，连结EM，
∴AF⊥平面EHM，∴平面AEF⊥平面EHM，
过H作HN⊥EM于N，即HN⊥平面AEF，
连结AN，则∠HAN为AC于平面AEF所成的角，
在等腰Rt△ABC中，设AC=1，则CF=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，∠ACB=$\frac{π}{4}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，cos$∠CAF=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即sin$∠CAF=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
在Rt△AHM中，HM=AH•sin$∠CAF=\frac{\sqrt{5}}{10}$，
在Rt△EHM中，EH=$\frac{1}{2}$，EM=$\sqrt{E{H}^{2}+M{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，即HN=$\frac{EH×MH}{EM}=\frac{\sqrt{6}}{12}$，
在Rt△AHN中，sin∠HAN=$\frac{NH}{AH}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴AC与平面AEF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．