Question

2．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（2，$\frac{π}{2}$），求直线l的极坐标方程；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出直线l的极坐标方程．
（2）设Q（$\sqrt{3}cosα$，sinα），利用点到直线的距离公式能求出Q到直线l的距离的最小值．

解答 解：（1）∵直线l的方程为x-y+4=0，
x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴ρcosθ-ρsinθ+4=0，
整理，得ρ（sinθ-cosθ）=4，
∴直线l的极坐标方程为$ρsin（θ-\frac{π}{4}）$=2$\sqrt{2}$．
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，则Q（$\sqrt{3}cosα$，sinα），
点Q到直线l：x-y+4=0的距离：
d=$\frac{|\sqrt{3}cosα-sinα+4|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{|2sin（α+\frac{2π}{3}）+4|}{\sqrt{2}}$，
∴当sin（$α+\frac{2π}{3}$）=-1时，Q到直线l的距离的最小值是$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线的极坐标方程的求法，考查点到直线的最小距离的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．