题目内容
已知向量
=（cosα，sinα），
=（cosβ，sinβ）且
与
满足关系式：|k
+
|=
|
-k
|（其中k＞0）．
（1）用k表示
•
；
（2）证明：
与
不垂直；
（3）当
与
的夹角为60°时，求k的值．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
（1）用k表示
| a |
| b |
（2）证明：
| a |
| b |
（3）当
| a |
| b |
分析：（1）由题意可得|
|=|
|=1，把已知条件平方可得结果；
（2）由（1）的结果结合基本不等式可证
•
≥
，故不垂直；
（3）由数量积的定义结合前面所求可建立关于k的方程，解之即可．
| a |
| b |
（2）由（1）的结果结合基本不等式可证
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
（3）由数量积的定义结合前面所求可建立关于k的方程，解之即可．
解答：解：（1）∵|k
+
|=
|
-k
|，|
|=|
|=1，
∴(k
+
)2=3(
-k
)2，化简可得：
8k
•
=2k2+2，故
•
=
(k2+1)（k＞0）；
（2）由（1）可得
•
=
(k2+1)（k＞0），
由基本不等式可得
•
=
(k2+1)=
（k+
）≥
，
当且仅当k=1时取等号，故
•
≠0，
故
与
不垂直；
（3）当
与
的夹角为60°时，
•
=|
||
|cos60°=
，
又
•
=
(k2+1)（k＞0），
∴
(k2+1)=
，解得k=1
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴(k
| a |
| b |
| a |
| b |
8k
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 4k |
（2）由（1）可得
| a |
| b |
| 1 |
| 4k |
由基本不等式可得
| a |
| b |
| 1 |
| 4k |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| k |
| 1 |
| 2 |
当且仅当k=1时取等号，故
| a |
| b |
故
| a |
| b |
（3）当
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
又
| a |
| b |
| 1 |
| 4k |
∴
| 1 |
| 4k |
| 1 |
| 2 |
点评：本题为向量的综合应用，涉及向量的模长夹角和基本不等式，属中档题．
练习册系列答案
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
相关题目