Question

将数列{a_n}  中的所有项按第一排三项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如数表：记表中的第一列数a₁，a₄，a₈，…构成的数列为{b_n}，已知：
①在数列{b_n}  中，b₁=1，对于任何n∈N^*，都有（n+1）b_n+1-nb_n=0；
②表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为q（q＞0）的等比数列；
③a66=

2

5

．请解答以下问题：
（1）求数列{b_n}  的通项公式；
（2）求上表中第k（k∈N^*）行所有项的和S（k）；
（3）若关于x的不等式S(k)+

1

k

＞

1-x2

x

在x∈[

1

1000

 ， 

1

100

]上有解，求正整数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意知

bn+1

bn

=

n

n+1

，因此

b2

b1

=

1

2

，

b3

b2

=

2

3

，…，

bn

bn-1

=

n-1

n

，将各式相乘得 bn=

1

n

；
（2）设上表中每行的公比都为q，表中第1行至第9行共含有数列b_n的前63项，故a₆₆在表中第10行第三列．由此可求出上表中第k（k∈N^*）行所有项的和s（k）；
（3）先求

1

x

-x在x∈[

1

1000

，

1

100

]上的最大值，再解不等式即可．

解答：解：（1）由（n+1）b_n+1²-nb_n²+b_n+1b_n=0，b_n＞0，
令 t=

bn+1

bn

得t＞0，且（n+1）t²+t-n=0（6分）
即（t+1）[（n+1）t-n]=0，
所以

bn+1

bn

=

n

n+1

（8分）
因此

b2

b1

=

1

2

，

b3

b2

=

2

3

，…，

bn

bn-1

=

n-1

n

，将各式相乘得 bn=

1

n

；
（2）设上表中每行的公比都为q，且q＞0．因为3+4+5+…+11=63，所以表中第1行至第9行共含有数列b_n的前63项，故a₆₆在表中第10行第三列，因此a66=b10•q2=

2

5

又b10=

1

10

所以q=2．则 S(k)=

bk(1-qk+2)

1-q

=

1

k

(2k+2-1)k∈N^*
（3）当x∈[

1

1000

，

1

100

]时，∵

1

x

-x为减函数，∴最小值为100-

1

100

，∴

1

k

(2k+2-1)＞100-

1

100

，∴k≥8

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．