题目内容

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
a₁
a₂a₃a₄
a₅a₆a₇a₈a₉
…
已知表中的第一列数a₁，a₂，a₅，…构成一个等差数列，记为{b_n}，且b₂=4，b₅=10．表中每一行正中间一个数a₁，a₃，a₇，…构成数列{c_n}，其前n项和为S_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a₁₃=1．①求S_n；②记M={n|（n+1）c_n≥λ，n∈N^*}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围．

分析：（1）设{b_n}的公差为d，则

b1+d=4

b1+4d=10

，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）①设每一行组成的等比数列的公比为q，由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n²个数，且3²＜13＜4²，解得q=

1

2

，cn=2n•(

1

2

)n-1=

n

2n-2

，所以Sn=

1

2-1

+

2

20

+

3

2

+…+

n

2n-2

，由错位相减法能够求得Sn=8-

n+2

2n-2

．
②由cn=

n

2n-2

，知不等式（n+1）c_n≥λ，可化为

n(n+1)

2n-1

≥λ，设f(n)=

n(n+1)

2n-2

，解得f(1)=4，f(2)=f(3)=6，f(4)=5，f(5)=

15

4

，由此能够推导出λ的取值范围．

解答：解：（1）设{b_n}的公差为d，
则

b1+d=4

b1+4d=10

，解得

b1=2

d=2

，∴b_n=2n．
（2）①设每一行组成的等比数列的公比为q，
由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n²个数，且3²＜13＜4²，
∴a₁₀=b₄=8，
∴a₁₃=a₁₀q³=8q³，
又a₁₃=1，解得q=

1

2

，
∴cn=2n•(

1

2

)n-1=

n

2n-2

，
∴Sn=

1

2-1

+

2

20

+

3

2

+…+

n

2n-2

，

1

2

Sn=

1

20

+

2

2

+…+

n-1

2 n-2

+

n

2n-1

，
∴

1

2

Sn=

1

2-1

+

1

20

+

1

2

+…+

1

2n-2

-

n

2n-1

=4-

n+2

2n-1

解得Sn=8-

n+2

2n-2

．
②由①知，cn=

n

2n-2

，不等式（n+1）c_n≥λ，可化为

n(n+1)

2n-2

≥λ，
设f(n)=

n(n+1)

2n-2

，解得f(1)=4，f(2)=f(3)=6，f(4)=5，f(5)=

15

4

，
∴n≥3时，f（n+1）＜f（n）．
∵集合M的元素个数是3，
∴λ的取值范围是（4，5]．

点评：本题考查数列的通项公式的求法、前n项和的计算和等比数列性质的应用，解题时要注意方程思想和错位相减求和法的合理运用，注意合理地进行等价转化．

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}成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
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…
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}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
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