题目内容

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉a₁₀…记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1．S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足

2bn

bnSn-

S

2

n

=1(n≥2)．
（Ⅰ）证明数列{

1

Sn

}成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81=-

4

91

时，求上表中第k（k≥3）行所有项的和．

分析：（Ⅰ）由题意所给的已知等式特点应考虑应用已知数列的前n项和求其通项这一公式来寻求出路，得到Sn与SS_n-1之间的递推关系，先求出S_n的通项公式即可得证，接下来求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由题意第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，又已知{b_n}的通项公式和a₈₁的值，应该现有规律判断这一向位于图示中的具体位置，有从第三行起，第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数进而求解．

解答：解：（Ⅰ）证明：由已知，当n≥2时，

2bn

bnSn-

S

2

n

=1，又S_n=b₁+b₂+…+b_n，
所以

2(Sn-Sn-1)

(Sn-Sn-1)Sn-

S

2

n

=1?

2(Sn-Sn-1)

-Sn-1Sn

=1?

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，
又S₁=b₁=a₁=1．所以数列{

1

Sn

}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列．
由上可知

1

Sn

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，?Sn=

2

n+1

．
所以当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=

2

n+1

-

2

n

=-

2

n(n+1)

．
因此bn=

1，n=1

-

2

n(n+1)

，n≥2

（Ⅱ）设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q＞0．
因为1+2+…+12=

12×13

2

=78，
所以表中第1行至第12行共含有数列{a_n}的前78项，故a₈₁在表中第13行第三列，
因此a81=b13•q2=-

4

91

．又b13=-

2

13×14

，所以q=2．
记表中第k（k≥3）行所有项的和为S，
则S=

bk(1-qk)

1-q

=-

2

k(k+1)

•

(1-2k)

1-2

=

2

k(k+1)

(1-2k)(k≥3)．

点评：（1）此问重点考查了数列中的已知前n项的和求解通项这一公式，还考查了等差数的定义；
（2）此问重点考查了由题意及图形准确找规律，还考查了等比数列的通向公式及有数列通向求其所有项和，同时还考查了方程的思想．

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}成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
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（2）将数列{a_n}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：

…
依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
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（1）证明数列{

}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）图中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序构成等比数列，且公比为同一个正数．当a₈₁=-

时，求上表中第k（k≥3）行所有数的和．

将数列{a_n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表：
记表中的第一列数a₁，a₂，a₄，a₇，…，构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足 $数学公式$ ．
（1）求证数列 $数学公式$ 成等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
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