Question

已知函数f（x）=sinx+acosx的一个零点是

3π

4

．
（1）求实数a的值；
（2）设g（x）=[f（x）]²，求g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）由f（

3π

4

）=0即可求得a=1；
（2）由（1）得f（x）=sinx+cosx，于是有g（x）=[f（x）]²=1+sin2x，利用正弦函数的单调性即可求得g（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）依题意，得f（

3π

4

）=0，
即sin

3π

4

+acos

3π

4

=

2

2

-

2 a

2

=0，
解得a=1．
（2）由（1）得f（x）=sinx+cosx．
∴g（x）=[f（x）]²=（sinx+cosx）²=1+sin2x，
由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得：-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ（k∈Z），
∴g（x）的单调递增区间为[-

π

4

+kπ，

π

4

+kπ]（k∈Z）．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换及其应用，考查正弦函数的单调性及倍角公式的应用，属于中档题．