Question

【题目】如图，已知四棱锥，，平面平面，且，．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）分别取，的中点，，连结，，，要证平面，需证明，，其中可通过证明平面来证明，通过证明平面来证明；

（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量以及直线的方向向量，求出两向量的夹角的余弦值即为直线与平面所成角的正弦值.

（1）证明：分别取，的中点，，连结，，.

因，为的中点，

故.

同理，，.

故平面.

故.

因平面平面，平面平面，

平面，，

故平面.

则.

又，是平面中的相交直线，

故平面.

（2）由（1）知，面，又∥，

面.

如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

不妨设，则，，，

，，

则，，.

设是面的一个法向量，

则，即，

取，则.

设直线与平面所成的角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.