题目内容

已知α∈(0，
π
2
)且tan(α+
π
4
)=2，则lg（sinα+2cosα）-lg（sinα+3cosα）=
lg
7
10
lg
7
10
．
分析：利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，求出tanα的值，然后把所求的式子利用对数的运算性质变形后，真数的分子分母同时除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，得到关于tanα的式子，把tanα的值代入即可求出值．
解答：解：∵tan(α+
π
4
)=2，
∴
tanα+1
1-tanα
=2，
解得：tanα=
1
3
，又α∈(0，
π
2
)，
则lg（sinα+2cosα）-lg（sinα+3cosα）
=lg
sinα+2cosα
sinα+3cosα

=lg
tanα+2
tanα+3

=lg
1
3
+2
1
3
+3

=lg
7
10
．
故答案为：lg
7
10
点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，对数的运算性质，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，其值已知与未知是以tanα的值建立联系的，故求出tanα的值是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
①已知tanα=1，α∈(0，
π
2
)，求
2cos2
α
2
-sinα-1
2
sin(
π
4
+α)
的值；
②已知θ∈(0，
π
2
)，且sin(
π
4
+θ)=
3
2
，求sin（
π
4
+2θ）的值．
已知α∈(0，
π
2
)，tan(π-α)=-
3
4
，则sinα=
 
．
已知0≤θ＜2π，复数
i
cosθ+isinθ
＞0，则θ的值是（　　）
已知θ∈(0，
π
2
)，sinθ-cosθ=
2
2
，则cos2θ=
-
3
2
-
3
2
．
已知0≤x≤
π
2
，则函数y=cos（
π
12
-x）+cos（
5π
12
+x）的值域是
[-
2
2
，
6
2
]
[-
2
2
，
6
2
]
．

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