Question

已知|

b

|=

3

，

|a|

=

3

，cos＜

a

，

b

＞=0，若向量

c

满足(

a

-

c

)•(

b

-

c

)=0，则|

c

|max=（　　）

• A．

  2

• B．2
• C．

  6

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：由题意可得

a

•

b

=0，再由(

a

-

c

)•(

b

-

c

)=0，求得 |

c

|=|

a

| cosα+|

b

|cosβ=

3

cosα+

3

cosβ，由于α+β=

π

2

 或α+β=

3π

2

，故有cosβ=sinα 或cosβ=-sinα，从而得到 |

c

|=

3

•

2

sin（α±

π

4

）≤

6

，由此得到答案．

解答：解：∵cos＜

a

，

b

＞=0，∴

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0．
∵(

a

-

c

)•(

b

-

c

)=0，∴

a

•

b

-

a

•

c

-

b

•

c

+

c

2=0-

c

•(

a

+

b

)+

c

2=0．
∴

c

2=

a

•

c

+

b

•

c

=|

a

|•|

c

| cosα+|

b

|•|

c

|cosβ，其中α、β分别是

c

与

a

，

c

 与

b

的夹角，
 故有 |

c

|=|

a

| cosα+|

b

|cosβ=

3

cosα+

3

cosβ．
 由题意可得 α+β=

π

2

 或α+β=

3π

2

．
当  α+β=

π

2

 时，cosβ=sinα，∴|

c

|=

3

（cosα+cosβ ）=

3

（cosα+sinα ）=

3

•

2

sin（α+

π

4

）≤

6

．
当α+β=

3π

2

 时，cosβ=-sinα，∴|

c

|=

3

（cosα+cosβ ）=

3

（cosα-sinα ）=

3

•

2

sin（α-

π

4

）≤

6

．
故|

c

|max=

6

，
故选C

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，辅助角公式，两个向量垂直的性质，属于中档题．