Question

16．若b＞a＞0，则$\frac{{{b^2}-2ab+3{a^2}}}{{ab-{a^2}}}$的最小值为（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 化简所求表达式为$\frac{b}{a}$的形式，利用换元法，转化求解最小值即可．

解答 解：b＞a＞0，可得：$\frac{b}{a}＞1$，
则$\frac{{{b^2}-2ab+3{a^2}}}{{ab-{a^2}}}$=$\frac{（\frac{b}{a}）^{2}-2\frac{b}{a}+3}{\frac{b}{a}-1}$，
令t=$\frac{b}{a}$＞1，上式化为：$\frac{{t}^{2}-2t+3}{t-1}$=t-1+$\frac{2}{t-1}$≥2$\sqrt{（t-i）（\frac{2}{t-1}）}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当t=1+$\sqrt{2}$时取等号．
表达式的最小值为：2$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，换元法以及转化思想的应用，考查计算能力．