Question

2．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{4}$）的图象过点P（$\frac{π}{12}$，0），图象上与点P最近的一个最高点是Q（$\frac{π}{3}$，5）．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数f（x）的递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据题意可得点P（$\frac{π}{12}$，0）是对称中心，与点P最近的一个最高点是Q（$\frac{π}{3}$，5）．可得A=5，$\frac{1}{4}T$=$\frac{π}{3}-\frac{π}{12}$可得周期，从而可是ω的值．图象过点P（$\frac{π}{12}$，0），带入可得φ的值．
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间．

解答 解 （1）依题意得：A=5，
周期$\frac{1}{4}T$=$\frac{π}{3}-\frac{π}{12}$可得，T=π
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2
故y=5sin（2x+φ），
又图象过点P（$\frac{π}{12}$，0），
可得0=5sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）
由已知可得$\frac{π}{6}$+φ=kπ，k∈Z，又|φ|＜$\frac{π}{4}$
∴φ=-$\frac{π}{6}$．
故函数的解析式y=5sin（2x-$\frac{π}{6}$），
（2）由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
得：-$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
故函数f（x）的递增区间为：[-$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z，

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据已知条件求出解析式是解决本题的关键．