Question

15．已知经过A（5，-3）且倾斜角的余弦值是-$\frac{3}{5}$的直线，直线与圆x²+y²=25交于B、C两点．
（1）请写出该直线的参数方程以及BC中点坐标；
（2）求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．

Answer 1

分析 （1）求出直线的斜率，可得直线方程，求出过圆心与直线4x+3y-11=0垂直的直线方程，两直线方程联立可得BC中点坐标；
（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．

解答 解：（1）直线参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=5-\frac{3}{5}t}\\{y=-3+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），
代入圆的方程得t²-$\frac{54}{5}$t+9=0，∴t_M=$\frac{t1+t2}{2}$=$\frac{27}{5}$，
则x_M=$\frac{44}{25}$，y_M=$\frac{33}{25}$，中点坐标为M （$\frac{44}{25}$，$\frac{33}{25}$）．
（2）设切线方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=5+tcosα}\\{y=-3+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
代入圆的方程得t²+（10cos α-6sin α）t+9=0．
△=（10cos α-6sin α）²-36=0，
整理得cos α（8cos α-15sin α）=0，
cos α=0或tan α=$\frac{8}{15}$．
∴过A点切线方程为x=5，8x-15y-85=0．
又t_切=-$\frac{b}{2a}$=3sin α-5cos α，
由cos α=0得t₁=3，由8cos α-15sin α=0，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{sinα=\frac{8}{17}}\\{cosα=\frac{15}{17}}\end{array}\right.$，可得t₂=-3．
将t₁，t₂代入切线的参数方程知，相应的切点为（5，0），（$\frac{40}{17}$，-$\frac{75}{17}$）．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，垂径定理，勾股定理，以及两直线垂直时斜率满足的关系，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．