Question

12．设函数f（x）=x²+lnx-ax．
（1）当a=0时，求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域内为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a，使g（x）=x²-f（x），x∈（0，e]的最小值为3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=0代入函数解析式，求其导函数，得到f′（1）=3，即函数切线的斜率可求，再求出f（1）的值，由直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）求出函数的导函数，由f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立中转化为a小于等于$2x+\frac{1}{x}$的最小值得答案；
（Ⅲ）求函数g（x）=x²-f（x）=ax-lnx的导函数，然后分a≤0、0＜a$≤\frac{1}{e}$、a$＞\frac{1}{e}$三种情况求解a的值得答案．

解答 解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x²+lnx，${f}^{′}（x）=2x+\frac{1}{x}$，f′（1）=3，
∴切线的斜率为3，
又f（1）=1，∴切点为（1，1），
故所求的切线方程为：y-1=3（x-1），即3x-y-2=0；
（Ⅱ）${f}^{′}（x）=2x+\frac{1}{x}-a$，由题意知：f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即：a$≤（2x+\frac{1}{x}）_{min}$，
∵x＞0，∴2x+$\frac{1}{x}≥2\sqrt{2}$，当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时等号成立，
故$（2x+\frac{1}{x}）_{min}=2\sqrt{2}$，
∴$a≤2\sqrt{2}$；
（Ⅲ）假设存在实数a，使g（x）=x²-f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）的最小值为3．
${g}^{′}（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$．
①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，此时g（x）_min=g（e）=ae-1=3，
∴$a=\frac{4}{e}＞0$不满足条件，舍去；
②当0＜a$≤\frac{1}{e}$时，$\frac{1}{a}≥e$，g（x）在（0，e]上单调递减，此时g（x）_min=g（e）=ae-1=3，
∴$a=\frac{4}{e}$不满足条件，舍去；
③当a$＞\frac{1}{e}$时，0＜$\frac{1}{a}＜e$，g（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（$\frac{1}{a}$，e]上单调递增，
此时$g（x）_{min}=g（\frac{1}{a}）$=1+lna=3，∴a=e²，满足条件．
综上，存在实数a=e²，使得x∈（0，e]的最小值为3．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求函数的最值，考查了数学转化、分类讨论等数学思想方法，是压轴题．