某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形.它在每分钟内随时间t(s)的变化规律大致可用y=-(1+4sin2$\frac{tπ}{60}$)x2+20x(t为时间参数.x的单位为m)来描述.其中地面可作为x轴所在平面.泉眼为坐标原点.垂直于地面的直线为y轴．(1)试求此喷泉喷射的圆形范围半径的最大值,(2)若计划在一建筑物前维修一个矩形花坛并在花坛内装两个这样的喷泉.如何设计花坛� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．

某音乐喷泉喷射的水珠呈抛物线形，它在每分钟内随时间t（s）的变化规律大致可用y=-（1+4sin²$\frac{tπ}{60}$）x²+20（sin$\frac{tπ}{60}$）x（t为时间参数，x的单位为m）来描述，其中地面可作为x轴所在平面，泉眼为坐标原点，垂直于地面的直线为y轴．
（1）试求此喷泉喷射的圆形范围半径的最大值；
（2）若计划在一建筑物前维修一个矩形花坛并在花坛内装两个这样的喷泉（如图所示），如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？

分析（1）令y=0，可结合t∈（0，60），即可求出喷泉喷射的圆形范围的半径最大值；
（2）花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界，问题转化为在x＞0，y＞0，$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=100$的条件下，求S=xy的最大值．

解答解：（1）当y=0时，$x=\frac{20sin\frac{tπ}{60}}{1+4si{n}^{2}\frac{2tπ}{60}}$=$\frac{20}{si{n}^{-1}\frac{tπ}{60}+4sin\frac{tπ}{60}}$，
因t∈（0，60）时，$sin\frac{tπ}{60}∈（0，1）$，故$si{n}^{-1}\frac{tπ}{60}+4sin\frac{tπ}{60}≥4$，
从而当$sin\frac{tπ}{60}=\frac{1}{2}$，即当t=10或50时，x有最大值5，
所以此喷泉喷射的圆形范围的半径最大值是5m；
（2）设花坛的长、宽分别为xm，ym，根据要求，
矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界，
依题意得：$（\frac{x}{4}）^{2}+（\frac{y}{2}）^{2}=25$，（x＞0，y＞0）
问题转化为在x＞0，y＞0，$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=100$的条件下，求S=xy的最大值．
∵S=xy=2•$\frac{x}{2}$•y≤$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=100，
由$\frac{x}{2}$=y和$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=100及x＞0，y＞0得：
x=$10\sqrt{2}$，y=$5\sqrt{2}$，
∴S_max=100，
故当花坛的长为$10\sqrt{2}$m、宽为$5\sqrt{2}$m、两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心时符合要求．

点评本题考查三角函数模型的运用，考查基本不等式，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属中档题．